ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Euler-Maclaurin-Formel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Euler-Maclaurin-Formel</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Euler-Maclaurin-Formel oder Eulersche Summenformel (nach <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> (1707–1783) und <a href="Colin_Maclaurin" title="Colin Maclaurin">Colin Maclaurin</a> (1698–1746)) ist eine <a href="Mathematische_Formel" class="mw-redirect" title="Mathematische Formel">mathematische Formel</a> zur Berechnung einer Summe von Funktionswerten durch die Werte der Ableitungen dieser Funktion an den Summationsgrenzen – so ist Euler auf sie gestoßen. In einer abgewandelten Form ermöglicht sie die numerische Approximation eines <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">bestimmten Integrals</a> über einzelne Werte des Integranden und seiner Ableitungen – so hat sie Maclaurin hergeleitet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notationshinweis">Notationshinweis</h2></div>

Für eine genügend oft differenzierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist im gesamten Artikel für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16ae0eb3ebc738f8043600bb28b9a7c94b40cbf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:6.558ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy"> die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,^{(j)}(c)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,^{(j)}(c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9935d4341d27c2c3d5397a38b89957f5a11597a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.671ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f\,^{(j)}(c)}" loading="lazy"> eine Kurznotation für

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{j}f(x)}{\mathrm {d} x^{j}}}\right|_{x=c},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29dc1622d5b13f7c5285c8fa02a8989fa5d37e59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.913ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{j}f(x)}{\mathrm {d} x^{j}}}\right|_{x=c},}" loading="lazy"></dd></dl>

die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">-te Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, ausgewertet an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13b8d90daa52ffa8e5988459b6f10ef4d64ee5da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.654ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Euler-Maclaurin-Formel_zur_Integralapproximation">Euler-Maclaurin-Formel zur Integralapproximation</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0},\;g\in C\,^{2k+2}[0,1]}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0},\;g\in C\,^{2k+2}[0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/426b5e3d76afb8984f510a8b5e78bac3128e9b7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.237ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0},\;g\in C\,^{2k+2}[0,1]}" loading="lazy"> gegeben, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> also eine Funktion, die auf dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> mindestens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2k+2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2k+2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d314458c4ca7b3451c0dc0607adf91b22aa5a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2k+2)}" loading="lazy">-mal <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbar</a> ist. Dann existiert eine Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in {]0,1[},}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in {]0,1[},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d9b243c2a2ce3b4eb21bbb4f5e4b3978c3ef985.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi \in {]0,1[},}" loading="lazy"> sodass

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t={\frac {g(1)}{2}}+{\frac {g(0)}{2}}-\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right)-{\frac {B_{2k+2}}{(2k+2)!}}g\,^{(2k+2)}(\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/010713c4ce850b409f5bd357e265f3ba76c4b5e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:85.29ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t={\frac {g(1)}{2}}+{\frac {g(0)}{2}}-\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right)-{\frac {B_{2k+2}}{(2k+2)!}}g\,^{(2k+2)}(\xi )}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea2c69d0fec8f10eb21aa996ca50219be25fc223.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{j}}" loading="lazy"> die <a href="Bernoulli-Zahlen" class="mw-redirect" title="Bernoulli-Zahlen">Bernoulli-Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (B_{2}=1/6,B_{4}=-1/30,\ldots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (B_{2}=1/6,B_{4}=-1/30,\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da4d7bc900f14f62f27a4d14af936acdc6ab0cc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (B_{2}=1/6,B_{4}=-1/30,\ldots )}" loading="lazy"> sind.

Dies ist eine einfache Form der Euler-Maclaurinschen Summenformel, bei der die Summation nur zwei Terme (mit Index 0 und 1) umfasst.<a href="#cite_note-stoer114-1">[1]</a> Der Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {g(0)}{2}}+{\tfrac {g(1)}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {g(0)}{2}}+{\tfrac {g(1)}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e27dfe89520bf07cb44b0676c0babf4cbea33d0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.294ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {g(0)}{2}}+{\tfrac {g(1)}{2}}}" loading="lazy"> ist genau die <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> eines <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrals</a> durch den Flächeninhalt eines <a href="Trapez_(Geometrie)" title="Trapez (Geometrie)">Trapezes</a>. Die nachfolgende Summe liefert ein Korrekturglied und der letzte <a href="Summand" class="mw-redirect" title="Summand">Summand</a> den Fehler, der dabei entsteht. Daher heißt diese Formel in der <a href="Numerische_Integration" title="Numerische Integration">numerischen Integrationstheorie</a> auch „Trapezregel mit Endkorrektur“. Mit dieser Formel ist es nur dann möglich, den Fehler der <a href="Trapezregel" title="Trapezregel">Trapezregel</a> für das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> zu bestimmen, wenn man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> kennt. Somit stellt diese Formel zwar keine Abschätzung, sondern eine Gleichheit dar, allerdings nur in Form einer Existenzaussage.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Euler-Maclaurin-Formel_zur_Summenapproximation">Euler-Maclaurin-Formel zur Summenapproximation</h2></div>

Die übliche Fassung<a href="#cite_note-stoer114-1">[1]</a> obiger Summenformel mit <a href="Berechenbarkeit" title="Berechenbarkeit">effektiver</a> Restgliedangabe erhält man, indem man sie umstellt zu

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {g(1)}{2}}+{\frac {g(0)}{2}}=\int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t+\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right)+{\frac {B_{2k+2}}{(2k+2)!}}g\,^{(2k+2)}(\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ea2806acd87fc73acd01b71728342c6e9964427.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:85.29ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {g(1)}{2}}+{\frac {g(0)}{2}}=\int _{0}^{1}g(t)\,\mathrm {d} t+\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right)+{\frac {B_{2k+2}}{(2k+2)!}}g\,^{(2k+2)}(\xi )}" loading="lazy"></dd></dl>

und dann die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> durch eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ersetzt, die in einem beliebigen Intervall mit Endpunkten aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> angewendet wird, aber das Restglied explizit als Funktion der „nächsten“ Ableitung berechnet. Dazu summiert man einfach diese Formel (mit explizitem Restglied), angewendet auf entsprechend viele verschobene Einheitsintervalle, die das gegebene Intervall aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> genau abdecken, auf. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f932c786e686277b8f060aae74134ce9fc3e3348.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.86ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [m,n]\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [m,n]\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88bd285be35b185f92b20806b2642795ddcaf37b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [m,n]\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"> mindestens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2k+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2k+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/462f278916a5456430659a4b0a899fc826f7247d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2k+1)}" loading="lazy">-mal stetig differenzierbar auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [m,n]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [m,n]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96654677b42a0d452d661331233f97a1facc9a1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.763ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [m,n]}" loading="lazy">, dann erhält man so

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(n)-f^{(2j-1)}(m)\right)+R_{2k}(m,n),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d59e6a8ae299e2e280c2a8aa7aaa8b636786e72f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:89.712ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(n)-f^{(2j-1)}(m)\right)+R_{2k}(m,n),}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{2k}(m,n)=\int _{m}^{n}{\frac {B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k+1)!}}f^{(2k+1)}(x)\,\mathrm {d} x=(-1)^{2k+1}\int _{m}^{n}{\frac {B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k)!}}f^{(2k)}(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f904efdbf36f2d4f9d9c963b2ced47a5521452d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:86.756ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle R_{2k}(m,n)=\int _{m}^{n}{\frac {B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k+1)!}}f^{(2k+1)}(x)\,\mathrm {d} x=(-1)^{2k+1}\int _{m}^{n}{\frac {B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k)!}}f^{(2k)}(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

mit den <a href="Bernoulli-Polynom" class="mw-redirect" title="Bernoulli-Polynom">Bernoulli-Polynomen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{h}\colon [0,1]\mapsto \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{h}\colon [0,1]\mapsto \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f2cb175e96f953f06097c141ec05688c44f66d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.922ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{h}\colon [0,1]\mapsto \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist. Dies ist die Euler-Maclaurin-Summenformel zur Bestimmung der <a href="Reihe_(Mathematik)" title="Reihe (Mathematik)">Reihe</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(i),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(i),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e9bc0ffb70b987c6de3f7673f27036c2f926df7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.537ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(i),}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C\,^{2k}[m,n]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C\,^{2k}[m,n]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f44144e4698847dd86622381f87cf2430913a729.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.946ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\in C\,^{2k}[m,n]}" loading="lazy"> schon ausreichend ist. Verwendet man ferner die Konvention

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/989127d80f94bdaac04df3b8bc9b6518c23d30c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.178ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

für die „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/311a5a9dcc81d10b9313cd9e32e254200165f2b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)}" loading="lazy">-te Ableitung“, so lässt sich die Formel wesentlich eleganter zu

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \ell \leq 2k\colon \quad \sum _{i=m}^{n}f(i)=f(n)+\sum _{j=0}^{\ell }{\frac {B_{j}}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)+R_{\ell }(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a0f6dc54b1db412511b1fd8b9624ccb1607de9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:72.474ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \forall \ell \leq 2k\colon \quad \sum _{i=m}^{n}f(i)=f(n)+\sum _{j=0}^{\ell }{\frac {B_{j}}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)+R_{\ell }(m,n)}" loading="lazy"></dd></dl>

umschreiben – man muss nicht bei einem geraden Index die Summation abbrechen, um eine Restgliedbestimmung zu machen – wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{1}=-1/2}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{1}=-1/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/369fa791109a7eed2c4b5e2cdddd6f3d0d0b71eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.212ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{1}=-1/2}" loading="lazy"> die einzige Bernoulli-Zahl ungleich 0 mit ungeradem Index ist. Wird nun noch der Grenzübergang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell \to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell \to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4786537d4ba10c6e0d090f12a56de03988e3f152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.908ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell \to \infty }" loading="lazy"> durchgeführt, erhält man

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=f(n)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ffde079b830eff185d44d5ffb5fb9078e719e0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:49.583ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=f(n)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für die praktische Anwendung. Dabei ist allerdings zu beachten, dass dies oft keine konvergente, sondern nur eine <a href="Asymptotische_Entwicklung" class="mw-redirect" title="Asymptotische Entwicklung">asymptotische Reihe</a>, genauer eine Entwicklung nach Ableitungen der Funktion, darstellt.

Nutzt man zusätzlich die sogenannten Bernoulli-Zahlen zweiter Art <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{j}^{\ast }=(-1)^{j}B_{j},\,B_{1}^{\ast }=-B_{1}=1/2}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{j}^{\ast }=(-1)^{j}B_{j},\,B_{1}^{\ast }=-B_{1}=1/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec52c2b38d989fb1aeaef809fda499174a738751.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:32.83ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle B_{j}^{\ast }=(-1)^{j}B_{j},\,B_{1}^{\ast }=-B_{1}=1/2}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{j}^{\ast }=B_{j}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{j}^{\ast }=B_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5546b6b1cc8d811d5b936129d0655074ef883f40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:8.59ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle B_{j}^{\ast }=B_{j}}" loading="lazy"> für alle anderen Indizes – man beachte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{j}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{j}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93604034a468e65f4de732a914b4f455d6754570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.935ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{j}=0}" loading="lazy"> für alle ungeraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j\neq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd16b97f32b40d21bc736152a5bd97c281f475cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:5.246ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle j\neq 1}" loading="lazy"> –, so lässt sich die obige Gleichung in eine symmetrischere Form umschreiben:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left(B_{j}^{\ast }f^{(j-1)}(n)-B_{j}f^{(j-1)}(m)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46a8a30a82c4186ba63110c9cc6ced01383e7364.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:46.683ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left(B_{j}^{\ast }f^{(j-1)}(n)-B_{j}f^{(j-1)}(m)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<ul><li>Das klassische Problem der Bestimmung der Potenzsummen der ersten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> lässt sich nun einfach mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(m)=m^{a}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(m)=m^{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15a6edcd86e31e5e1d933aed353b536fa6a42fa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.369ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(m)=m^{a}}" loading="lazy"> transformieren zu</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{a}=f(1)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}^{\ast }}{j!}}{\frac {a!}{(a-j+1)!}}\left(n^{a-j+1}-1\right)=\zeta (-a)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}^{\ast }}{a+1}}{a+1 \choose j}n^{a+1-j},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9db173a9be6e93668bf3438fd70683ec647f980c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:87.6ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{a}=f(1)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}^{\ast }}{j!}}{\frac {a!}{(a-j+1)!}}\left(n^{a-j+1}-1\right)=\zeta (-a)+\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{j}^{\ast }}{a+1}}{a+1 \choose j}n^{a+1-j},}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> die <a href="Riemannsche_Zetafunktion" class="mw-redirect" title="Riemannsche Zetafunktion">Riemannsche Zetafunktion</a> bezeichnet. Diese Gleichung gilt für Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b171c0c3de7a0fda0f4aa46a453b99f53355fbc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.803ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy"> sogar exakt (nicht nur asymptotisch), da in diesem Fall alle Summanden ab dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\!+\!2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\!+\!2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b23a6ed3f063bb0b596390f63ffdf2f3c6dd23ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\!+\!2)}" loading="lazy">-ten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">-Index gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> sind und man somit die <a href="Faulhabersche_Formel" title="Faulhabersche Formel">Faulhaberschen Formeln</a> erhält. Die obige Gleichung ist sogar für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> benutzbar, wenn man die Binomialkoeffizienten (wie üblich) bei reellem Argument mittels der <a href="Steigende_und_fallende_Faktorielle" class="mw-redirect" title="Steigende und fallende Faktorielle">fallenden Faktorielle</a> interpretiert und ihre einzige „formale Singularität“ im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/231103d8099e125875dd690668e93a56aa10bd99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.299ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a=-1}" loading="lazy"> den undefinierten Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n^{0}}{0}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n^{0}}{0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/764691e5f1c61410664d1b9ffbcb5d8de10ce5ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.654ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n^{0}}{0}}}" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b40d8af55c5679aa769abbd67a7b98612c2aeaf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.143ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(n)}" loading="lazy"> ansieht und den Wert der Zetafunktion an ihrer <a href="Polstelle" title="Polstelle">Polstelle</a> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">, wie bei der <a href="Fouriertransformation" class="mw-redirect" title="Fouriertransformation">Fouriertransformation</a> auch, als arithmetisches Mittel der links- und rechtsseitigen Grenzwerte interpretiert.</dd></dl>

<ul><li>Ein weiteres klassisches Beispiel ist die Wahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\ln(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\ln(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37bdd990efe5e7eb9d0cbbe6965e9633708e0130.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\ln(x)}" loading="lazy">, wodurch man aus der Summationsformel die allgemeine (logarithmierte) <a href="Stirling-Formel" class="mw-redirect" title="Stirling-Formel">Stirling-Reihe</a> erhält und so die <a href="Fakult%C3%A4t_(Mathematik)" title="Fakultät (Mathematik)">Fakultäten</a> näherungsweise auch für sehr große Argumente schnell oder die <a href="Gammafunktion" title="Gammafunktion">Gammafunktion</a> für nicht ganzzahlige Argumente berechnen kann.</li>

<li>Ein Anwendungsgebiet der Numerik wird eröffnet, wenn man die Euler-Maclaurin-Formel nach ihrem Integral umstellt:</li></ul>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} \colon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4727fa159ba5e2057d52f4e9bfff521c3ae6745f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} \colon }" loading="lazy"></dd>

<dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>m\Rightarrow \int _{m}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=m+1}^{n}\!f(k)\;-\left(\sum _{j=1}^{2k}{\frac {B_{j}^{\ast }}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)+R_{2k}(m,n)\right),}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>m\Rightarrow \int _{m}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=m+1}^{n}\!f(k)\;-\left(\sum _{j=1}^{2k}{\frac {B_{j}^{\ast }}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)+R_{2k}(m,n)\right),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff4cf9c3b27ee68dabb80e59cb375ea7920cfe33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:87.388ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle n>m\Rightarrow \int _{m}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=m+1}^{n}\!f(k)\;-\left(\sum _{j=1}^{2k}{\frac {B_{j}^{\ast }}{j!}}\left(f^{(j-1)}(n)-f^{(j-1)}(m)\right)+R_{2k}(m,n)\right),}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>sodass man eine Formel zur Integration gewinnt. Dies ist auch eine effiziente Anwendung zur <a href="Numerische_Integration" title="Numerische Integration">numerischen Integration</a>, die in der Praxis oft genutzt wird.</dd></dl>

<ul><li>Benutzt man an Stelle der Trapezregel die <a href="Mittelpunktsregel" title="Mittelpunktsregel">Mittelpunktsregel</a>, ersetzt man also die Summation der Funktionswerte durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{k=m+1}^{n}f(k-{\tfrac {1}{2}}),}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{k=m+1}^{n}f(k-{\tfrac {1}{2}}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69d5e0cb22bd8b27675de2a3717fcb73b24a6225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:18.196ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{k=m+1}^{n}f(k-{\tfrac {1}{2}}),}" loading="lazy"> so kann man die manchmal problematische Funktionsauswertung an den Rändern vermeiden. Dies ist besonders dann der Fall, wenn der Integrand auf dem Rand numerisch instabil (z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {x}{\sin x}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {x}{\sin x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f037054208331d616af0a4ad0b192b1b35b493b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.183ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {x}{\sin x}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">) oder nicht definiert ist (bspw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1+x}{\pi -\arccos x}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mi>arccos</mi>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1+x}{\pi -\arccos x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/043ba59b47d9fe96c228e1f632c45b4c05271880.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.78ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1+x}{\pi -\arccos x}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fefa55268918f98da2e0dcc19ea86d78f84ac56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.399ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x=-1}" loading="lazy">). Hierbei werden die Differenzen der ungeraden Ableitungen jeweils um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-2^{-j})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-2^{-j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b0b6bf7153b714a1e76d74c0e936d9be842479d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.163ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (1-2^{-j})}" loading="lazy"> verkleinert. Die Beiträge der Differenzen zum Gesamtfehler werden also kleiner, wie es bei Anwendung der Mittelpunktsregel zu erwarten ist. Der Faktor findet sich ähnlich auch in der <a href="Romberg-Integration" title="Romberg-Integration">Romberg-Integration</a> gerader und ungerader Funktionen wieder. Es ist zu berücksichtigen, dass sich auch bei Anwendung der Mittelpunktsregel die Differenzen der Ableitung auf die Integralränder beziehen.</li>

<li>Eine wichtige Anwendung hat die Euler-Maclaurin-Formel bei periodischen Funktionen, die über eine oder mehrere Perioden integriert werden sollen. Für solche Funktionen sind auch alle Ableitungen an den Integralgrenzen identisch gleich und deshalb verschwinden dort (auch) die Summe der Differenzen der (ungeraden) Ableitungen. Das Integral lässt sich also durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-fache Anwendung der <a href="Trapezregel" title="Trapezregel">Trapezregel</a> mit einem Fehler der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf35c5648936da1febe627690c7e9be9bfb82829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n)}" loading="lazy"> approximieren.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Dies erklärt unter anderem, warum die <a href="Diskrete_Fouriertransformation" class="mw-redirect" title="Diskrete Fouriertransformation">diskrete Fouriertransformation</a> durch Summation und die <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> mittels <a href="Tschebyschow-Polynom" title="Tschebyschow-Polynom">Tschebyschow-Polynomen</a> eine so hohe Genauigkeit hat. Hierbei ist zu bemerken, dass sich die diskrete Fouriertransformation üblicherweise auf die Euler-Maclaurin-Formel mit Trapezregel bezieht, während die Approximation mit Tschebyschow-Polynomen die Mittelpunktsregel nutzt. Bei Anwendungen kann man aber auch mit der jeweils anderen Summationsregel arbeiten. Die Gleichwertigkeit wird mit der Euler-Maclaurin-Formel bewiesen.</li>

<li>Die Euler-Maclaurin-Formel ermöglicht auch eine wichtige Anwendung bei Funktionen, die an beiden Integralgrenzen so gespiegelt werden können, dass sie zusammen mit allen Ableitung stetig fortsetzbar sind. Für solche Funktionen sind alle ungeraden Ableitungen an den Integralgrenzen gleich null, und deshalb verschwindet die Summe der Differenzen der ungeraden Ableitungen ebenfalls. Folglich ist auch hier der Fehler von der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n).}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97ece2e7f2da15692dc08fb42459c0e937d2ada.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(2n).}" loading="lazy"> Unabhängig von den theoretischen Hintergründen der <a href="Gau%C3%9F-Quadratur" title="Gauß-Quadratur">Gauß-Quadratur</a> lässt sich die <a href="Gau%C3%9F-Quadratur#Gauß-Tschebyschow-Integration" title="Gauß-Quadratur">Gauß-Tschebyschew-Integration</a> bzw. das Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\pi }\,g(\cos \,t)\,\mathrm {d} t}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\pi }\,g(\cos \,t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2e399456a9d904d94412bf8a1a5cdc5cb478c27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.632ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\pi }\,g(\cos \,t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> allein mit der Euler-Maclaurin-Formel herleiten.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Donald_Ervin_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Ervin Knuth">Donald Ervin Knuth</a>: <cite style="font-style:italic">The Art of Computer Programming</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Fundamental Algorithms</cite>. 3. Auflage. Band 1. Addison-Wesley Longman, Amsterdam 1997, ISBN 0-201-89683-4, Kap. 1.2.11.2, S. 111–115.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Maclaurin-Formel&rft.atitle=The+Art+of+Computer+Programming&rft.au=Donald+Ervin+Knuth&rft.btitle=Fundamental+Algorithms&rft.date=1997&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=0201896834&rft.pages=111-115&rft.place=Amsterdam&rft.pub=Addison-Wesley+Longman&rft.volume=1" style="display:none"> </li>

<li><a href="Konrad_Knopp" title="Konrad Knopp">Konrad Knopp</a>: <cite style="font-style:italic">Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen</cite>. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1996, ISBN 3-540-59111-7, Kap. XIV, S. 536 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=264078">Ausgabe von 1964</a> [abgerufen am 26. Dezember 2012]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Maclaurin-Formel&rft.atitle=Kap.+XIV&rft.au=Konrad+Knopp&rft.btitle=Theorie+und+Anwendung+der+unendlichen+Reihen&rft.date=1996&rft.edition=6.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540591117&rft.pages=536+ff.&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Josef Stoer, <a href="Roland_Bulirsch" title="Roland Bulirsch">Roland Bulirsch</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Numerische Mathematik II</cite>. 5. Auflage. Springer, New York/Berlin/Heidelberg u. a. 2005, ISBN 978-3-540-23777-8, Kap. 3.3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Maclaurin-Formel&rft.atitle=Kap.+3.3&rft.au=Josef+Stoer%2C+Roland+Bulirsch&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Numerische+Mathematik+II&rft.date=2005&rft.edition=5.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783540237778&rft.place=New+York%2FBerlin%2FHeidelberg+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-stoer114-1">↑ <a href="#cite_ref-stoer114_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-stoer114_1-1">b</a> Josef Stoer: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Numerische Mathematik I</cite>. 4. Auflage. Springer, New York / Berlin / Heidelberg u. a. 1983, ISBN 3-540-12536-1, Kap. 3.2, S. 114.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Maclaurin-Formel&rft.atitle=Kap.+3.2&rft.au=Josef+Stoer&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Numerische+Mathematik+I&rft.date=1983&rft.edition=4.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540125361&rft.pages=114&rft.place=New+York+%2F+Berlin+%2F+Heidelberg+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Matthias Gerdts (Universität Würzburg): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.unibw.de/ingmathe/teaching/numerik_1.pdf/download">Numerische Mathematik I.</a> (PDF; 1,6 MB) In: unibw.de. Universität der Bundeswehr München, S. 172–175, abgerufen am 2. Juli 2019 (WiSe 2009/2010).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AEuler-Maclaurin-Formel&rft.title=Numerische+Mathematik+I&rft.description=Numerische+Mathematik+I&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.unibw.de%2Fingmathe%2Fteaching%2Fnumerik_1.pdf%2Fdownload&rft.creator=Matthias+Gerdts+%28Universit%C3%A4t+W%C3%BCrzburg%29&rft.publisher=Universit%C3%A4t+der+Bundeswehr+M%C3%BCnchen">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew; Günter Grosche, Viktor Ziegler, Dorothea Ziegler: <cite style="font-style:italic">Teubner-<a href="Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Taschenbuch der Mathematik</a></cite>. „Der Bronstein“. Hrsg.: Eberhard Zeidler. 1. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 1134.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Maclaurin-Formel&rft.au=Ilja+Nikolajewitsch+Bronstein%2C+Konstantin+Adolfowitsch+Semendjajew%3B+G%C3%BCnter+Grosche%2C+Viktor+Ziegler%2C+...&rft.btitle=Teubner-Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=1996&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=3815420016&rft.pages=1134&rft.place=Stuttgart%2FLeipzig%2FWiesbaden&rft.pub=B.+G.+Teubner" style="display:none">

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